Окончил МЭИ с отличием в 1937 году по специальности "Передача электрической энергии и объединение электрических систем". В 1939 году поступил в аспирантуру МЭИ. Защита кандидатской диссертации была прервана начавшейся Великой Отечественной войной.
Старший лейтенант, воевал техником по радиопеленгации прожекторного полка.
"При получении радио прожекторов на вооружение части в короткий срок сам освоил эту сложную боевую технику и настойчиво обучает личный состав по боевому применению, уходу и сбережению в условиях войны.
Несмотря на трудности, связанные с большой разбросанностью, материальная часть станции неизменно поддерживалась в боеспособном состоянии. В любых условиях, не считаясь с собой, тов. Богомолов производит ремонт, настраивает аппаратуру и обучает расчеты.
Уделяя значительную часть времени подготовки личного состава, он всегда стремится к наиболее полному, предельному использованию возможностей станций РАП. Лично работает над усовершенствованием радиолокаторов".
За свою службу по обеспечению боеготовности радиолокаторных средств батальона во время Великой Отечественной войны награжден Орденом "Красная Звезда", медалями "За оборону Ленинграда", "за Победу над Германией".
В конце 1945 года Богомолов А.Ф. был отозван из армии в МЭИ и приступил к работе на кафедре радиотехнических приборов. Преподавал на Высших инженерных курсах МВТУ в 1947—1954 годах — на радиотехническом факультете МЭИ.
В 1949 году защитил кандидатскую диссертацию по теории блокинг-генераторов. В 1955 году он был избран заведующим кафедрой радиотехнических приборов.
В 1957 году был удостоен звания Героя Социалистического Труда.
Награждён 3 орденами Ленина (1955, 1957, 1961), орденами Октябрьской Революции, Отечественной войны 2-й степени (1985), Трудового Красного Знамени, "Знак Почёта", медалями.
